Извлечение корня из комплексного числа. Корни из единицы и их свойства.

Пусть $n$ - натуральное число. **Корнем степени $n$ из комплексного числа $z$** называется комплексное число $w$ такое, что $w^{n}=z$.

Если $z = 0$, то корень равен $0$. Если $z = r(\cos\varphi + i \sin\varphi) \neq 0$, то корней $n$-ной степени - $n$, они задаются формулой: $$w_{k} = \sqrt[n]{r}\left( \cos \dfrac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \dfrac{\varphi + 2\pi k}{n} \right),~~ k \in \{0,\dots,n-1\}$$

Пусть $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi), w=q(\cos\psi + i\sin\psi)$ и $w^{n}=z$. Тогда: $$q^{n}(\cos n\psi+i\sin n\psi)=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$$ Получаем $q^{n}=r$ и $n\psi=\varphi+2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Поскольку $q,r$ - положительные действительные числа, это означает, что $q=\sqrt[n]{r}$. Для аргумента числа $w$ справедливо равенство $\psi=\dfrac{\varphi+2\pi k}{n}$. Мы видим, что корень $n$-й степени из $z$ всегда существует. Выясним теперь, сколько значений может иметь корень из комплексного числа. Все корни $n$-й степени из числа $z$ задается формулой: $$w_{k} = \sqrt[n]{r}\left( \cos \dfrac{\varphi + 2\pi k}{n} + i \sin \dfrac{\varphi + 2\pi k}{n} \right),~~ k\in \mathbb{Z}$$ Из периодичности $\cos$ и $\sin$ следует, что $$w_{k}=w_{l} \iff \dfrac{\varphi+2\pi k}{n}=\dfrac{\varphi+2\pi l}{n}+2\pi m,~~ m\in \mathbb{Z}$$ Это равносильно $\dfrac{k-l}{n}=m$. То есть, числа $w_{k}, ~ w_{l}$ совпадают $\iff$ $k,~l$ имеют одинаковые остатки при делении на $n$. Поэтому все различные значения корня получаются по формуле при $k=0,1,\dots,n-1$.

Корни $n$-ной степени из $1$: $$\varepsilon_{k} = \cos \dfrac{2\pi k}{n} + i\sin \dfrac{2\pi k}{n},~~ k=\overline{0,n-1}$$ Корни $n$-й степени из 1 располагаются в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в единичную окружность {${z \in \mathbb{C} : |z| = 1}$}. !Единичная окружность.svg

1. $\varepsilon_{i}\varepsilon_{j} = \varepsilon_{k}$, $\dfrac{\varepsilon_{i}}{\varepsilon_{j}}=\varepsilon_{t}$ (Корни $n$-й из $1$ образуют группу) 2. $\varepsilon_{k} = \varepsilon_{1}^{k} = \left( \cos \dfrac{2\pi}{n} + i\sin \dfrac{2\pi}{n} \right)^{k}$ 3. $\sum_{k=0}^{n-1}\varepsilon_{k} = 0$

Свойства 1 и 2 очевидны, докажем свойство 3: $$\sum_{k=0}^{n-1}\varepsilon_{k} = \sum_{k=0}^{n-1}\varepsilon_1^{k} = \dfrac{e_{1}^{n} - 1}{e_{1}-1} \underbrace{ = }_{ \Delta } \dfrac{1-1}{e_{1} - 1} = 0 ~~~\square$$ $\Delta$ - сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии